3.4.84 \(\int \frac {x^m}{(a+b x) (c+d x)^3} \, dx\) [384]

Optimal. Leaf size=206 \[ -\frac {d x^{1+m}}{2 c (b c-a d) (c+d x)^2}+\frac {d (a d (1-m)-b c (3-m)) x^{1+m}}{2 c^2 (b c-a d)^2 (c+d x)}+\frac {b^3 x^{1+m} \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac {b x}{a}\right )}{a (b c-a d)^3 (1+m)}+\frac {d \left (a^2 d^2 (1-m) m-2 a b c d (2-m) m-b^2 c^2 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) x^{1+m} \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac {d x}{c}\right )}{2 c^3 (b c-a d)^3 (1+m)} \]

[Out]

-1/2*d*x^(1+m)/c/(-a*d+b*c)/(d*x+c)^2+1/2*d*(a*d*(1-m)-b*c*(3-m))*x^(1+m)/c^2/(-a*d+b*c)^2/(d*x+c)+b^3*x^(1+m)
*hypergeom([1, 1+m],[2+m],-b*x/a)/a/(-a*d+b*c)^3/(1+m)+1/2*d*(a^2*d^2*(1-m)*m-2*a*b*c*d*(2-m)*m-b^2*c^2*(m^2-3
*m+2))*x^(1+m)*hypergeom([1, 1+m],[2+m],-d*x/c)/c^3/(-a*d+b*c)^3/(1+m)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.16, antiderivative size = 206, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 18, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.222, Rules used = {105, 156, 162, 66} \begin {gather*} \frac {d x^{m+1} \left (a^2 d^2 (1-m) m-2 a b c d (2-m) m-b^2 c^2 \left (m^2-3 m+2\right )\right ) \, _2F_1\left (1,m+1;m+2;-\frac {d x}{c}\right )}{2 c^3 (m+1) (b c-a d)^3}+\frac {b^3 x^{m+1} \, _2F_1\left (1,m+1;m+2;-\frac {b x}{a}\right )}{a (m+1) (b c-a d)^3}+\frac {d x^{m+1} (a d (1-m)-b c (3-m))}{2 c^2 (c+d x) (b c-a d)^2}-\frac {d x^{m+1}}{2 c (c+d x)^2 (b c-a d)} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^m/((a + b*x)*(c + d*x)^3),x]

[Out]

-1/2*(d*x^(1 + m))/(c*(b*c - a*d)*(c + d*x)^2) + (d*(a*d*(1 - m) - b*c*(3 - m))*x^(1 + m))/(2*c^2*(b*c - a*d)^
2*(c + d*x)) + (b^3*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)])/(a*(b*c - a*d)^3*(1 + m)) + (d*(
a^2*d^2*(1 - m)*m - 2*a*b*c*d*(2 - m)*m - b^2*c^2*(2 - 3*m + m^2))*x^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m
, -((d*x)/c)])/(2*c^3*(b*c - a*d)^3*(1 + m))

Rule 66

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[c^n*((b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)))*Hypergeometr
ic2F1[-n, m + 1, m + 2, (-d)*(x/c)], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] && (IntegerQ[n] || (GtQ[
c, 0] &&  !(EqQ[n, -2^(-1)] && EqQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[-d/(b*c), 0])))

Rule 105

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[b*(a +
b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*
c - a*d)*(b*e - a*f)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[a*d*f*(m + 1) - b*(d*e*(m + n + 2) +
c*f*(m + p + 2)) - b*d*f*(m + n + p + 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && ILtQ[m, -1] &
& (IntegerQ[n] || IntegersQ[2*n, 2*p] || ILtQ[m + n + p + 3, 0])

Rule 156

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_Symb
ol] :> Simp[(b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f
))), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[(a*d*f*
g - b*(d*e + c*f)*g + b*c*e*h)*(m + 1) - (b*g - a*h)*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - d*f*(b*g - a*h)*(m + n + p
+ 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && ILtQ[m, -1]

Rule 162

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :>
Dist[(b*g - a*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*g - c*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)
^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {x^m}{(a+b x) (c+d x)^3} \, dx &=-\frac {d x^{1+m}}{2 c (b c-a d) (c+d x)^2}-\frac {\int \frac {x^m (-2 b c+a d (1-m)+b d (1-m) x)}{(a+b x) (c+d x)^2} \, dx}{2 c (b c-a d)}\\ &=-\frac {d x^{1+m}}{2 c (b c-a d) (c+d x)^2}+\frac {d (a d (1-m)-b c (3-m)) x^{1+m}}{2 c^2 (b c-a d)^2 (c+d x)}+\frac {\int \frac {x^m \left (2 b^2 c^2-a^2 d^2 (1-m) m+a b c d (3-m) m-b d (a d (1-m)-b c (3-m)) m x\right )}{(a+b x) (c+d x)} \, dx}{2 c^2 (b c-a d)^2}\\ &=-\frac {d x^{1+m}}{2 c (b c-a d) (c+d x)^2}+\frac {d (a d (1-m)-b c (3-m)) x^{1+m}}{2 c^2 (b c-a d)^2 (c+d x)}+\frac {b^3 \int \frac {x^m}{a+b x} \, dx}{(b c-a d)^3}+\frac {\left (d \left (a^2 d^2 (1-m) m-2 a b c d (2-m) m-b^2 c^2 \left (2-3 m+m^2\right )\right )\right ) \int \frac {x^m}{c+d x} \, dx}{2 c^2 (b c-a d)^3}\\ &=-\frac {d x^{1+m}}{2 c (b c-a d) (c+d x)^2}+\frac {d (a d (1-m)-b c (3-m)) x^{1+m}}{2 c^2 (b c-a d)^2 (c+d x)}+\frac {b^3 x^{1+m} \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac {b x}{a}\right )}{a (b c-a d)^3 (1+m)}+\frac {d \left (a^2 d^2 (1-m) m-2 a b c d (2-m) m-b^2 c^2 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) x^{1+m} \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac {d x}{c}\right )}{2 c^3 (b c-a d)^3 (1+m)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]
time = 0.21, size = 169, normalized size = 0.82 \begin {gather*} \frac {x^{1+m} \left (\frac {d}{(c+d x)^2}+\frac {d (-b c (-3+m)+a d (-1+m))}{c (b c-a d) (c+d x)}+\frac {-2 b^3 c^3 \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac {b x}{a}\right )+a d \left (-2 a b c d (-2+m) m+a^2 d^2 (-1+m) m+b^2 c^2 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac {d x}{c}\right )}{a c^2 (b c-a d)^2 (1+m)}\right )}{2 c (-b c+a d)} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^m/((a + b*x)*(c + d*x)^3),x]

[Out]

(x^(1 + m)*(d/(c + d*x)^2 + (d*(-(b*c*(-3 + m)) + a*d*(-1 + m)))/(c*(b*c - a*d)*(c + d*x)) + (-2*b^3*c^3*Hyper
geometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*x)/a)] + a*d*(-2*a*b*c*d*(-2 + m)*m + a^2*d^2*(-1 + m)*m + b^2*c^2*(2 - 3*m
+ m^2))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((d*x)/c)])/(a*c^2*(b*c - a*d)^2*(1 + m))))/(2*c*(-(b*c) + a*d))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]
time = 0.03, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \frac {x^{m}}{\left (b x +a \right ) \left (d x +c \right )^{3}}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^m/(b*x+a)/(d*x+c)^3,x)

[Out]

int(x^m/(b*x+a)/(d*x+c)^3,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Failed to integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^m/(b*x+a)/(d*x+c)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(x^m/((b*x + a)*(d*x + c)^3), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^m/(b*x+a)/(d*x+c)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(x^m/(b*d^3*x^4 + a*c^3 + (3*b*c*d^2 + a*d^3)*x^3 + 3*(b*c^2*d + a*c*d^2)*x^2 + (b*c^3 + 3*a*c^2*d)*x)
, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [C] Result contains complex when optimal does not.
time = 12.08, size = 9442, normalized size = 45.83 \begin {gather*} \text {Too large to display} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**m/(b*x+a)/(d*x+c)**3,x)

[Out]

a**2*c**2*d**2*m**3*x**m*lerchphi(c*exp_polar(I*pi)/(d*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*g
amma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 - m) + 2*a**3*c**2*d**5*x**2*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(
1 - m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 -
m) + 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**4*d**3*x**2*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4
*b**3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*d**2*x**2*gamma(1 - m)) - a**2*c**2*d**2*m**2*x**m*lerchphi(c*exp_po
lar(I*pi)/(d*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*gamma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 -
m) + 2*a**3*c**2*d**5*x**2*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(1 - m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m
) - 6*a**2*b*c**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 - m) + 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) +
6*a*b**2*c**4*d**3*x**2*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4*b**3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*
d**2*x**2*gamma(1 - m)) + 2*a**2*c*d**3*m**3*x*x**m*lerchphi(c*exp_polar(I*pi)/(d*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*ga
mma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*gamma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 - m) + 2*a**3*c**2*d**5*x**2*gamma(1 - m)
- 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(1 - m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**3*d**4*x**2*gamma(1 - m)
+ 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 - m) + 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**4*d**3*x**2*gamma(1 - m) - 2
*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4*b**3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*d**2*x**2*gamma(1 - m)) - 2*a**2*c*d**3*m
**2*x*x**m*lerchphi(c*exp_polar(I*pi)/(d*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*gamma(1 - m) +
4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 - m) + 2*a**3*c**2*d**5*x**2*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(1 - m) - 12*a*
*2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 - m) + 12*a*b**
2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**4*d**3*x**2*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4*b**3*c**6*d*x
*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*d**2*x**2*gamma(1 - m)) + a**2*c*d**3*m**2*x*x**m*gamma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*gamm
a(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 - m) + 2*a**3*c**2*d**5*x**2*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(1 -
m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 - m)
+ 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**4*d**3*x**2*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4*b*
*3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*d**2*x**2*gamma(1 - m)) - 2*a**2*c*d**3*m*x*x**m*gamma(-m)/(2*a**3*c**4
*d**3*gamma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 - m) + 2*a**3*c**2*d**5*x**2*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**5*d**2
*gamma(1 - m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**6*d*ga
mma(1 - m) + 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**4*d**3*x**2*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 -
m) - 4*b**3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*d**2*x**2*gamma(1 - m)) + a**2*d**4*m**3*x**2*x**m*lerchphi(c
*exp_polar(I*pi)/(d*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*gamma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*ga
mma(1 - m) + 2*a**3*c**2*d**5*x**2*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(1 - m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamm
a(1 - m) - 6*a**2*b*c**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 - m) + 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1
- m) + 6*a*b**2*c**4*d**3*x**2*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4*b**3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**
3*c**5*d**2*x**2*gamma(1 - m)) - a**2*d**4*m**2*x**2*x**m*lerchphi(c*exp_polar(I*pi)/(d*x), 1, m*exp_polar(I*p
i))*gamma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*gamma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 - m) + 2*a**3*c**2*d**5*x**2*gamma(1
- m) - 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(1 - m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**3*d**4*x**2*gamma(1
- m) + 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 - m) + 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**4*d**3*x**2*gamma(1 -
m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4*b**3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*d**2*x**2*gamma(1 - m)) + a**2*d**4
*m**2*x**2*x**m*gamma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*gamma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 - m) + 2*a**3*c**2*d**5*
x**2*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(1 - m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**3*d**4*
x**2*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 - m) + 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**4*d**3*x**
2*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4*b**3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*d**2*x**2*gamma(1 - m))
- a**2*d**4*m*x**2*x**m*gamma(-m)/(2*a**3*c**4*d**3*gamma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamma(1 - m) + 2*a**3*c
**2*d**5*x**2*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c**5*d**2*gamma(1 - m) - 12*a**2*b*c**4*d**3*x*gamma(1 - m) - 6*a**2*b*c
**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**6*d*gamma(1 - m) + 12*a*b**2*c**5*d**2*x*gamma(1 - m) + 6*a*b**2*c**4
*d**3*x**2*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**7*gamma(1 - m) - 4*b**3*c**6*d*x*gamma(1 - m) - 2*b**3*c**5*d**2*x**2*gamm
a(1 - m)) - 2*a*b*c**3*d*m**3*x**m*lerchphi(c*exp_polar(I*pi)/(d*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(2*a**3*c
**4*d**3*gamma(1 - m) + 4*a**3*c**3*d**4*x*gamm...

________________________________________________________________________________________

Giac [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^m/(b*x+a)/(d*x+c)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^m/((b*x + a)*(d*x + c)^3), x)

________________________________________________________________________________________

Mupad [F]
time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \begin {gather*} \int \frac {x^m}{\left (a+b\,x\right )\,{\left (c+d\,x\right )}^3} \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^m/((a + b*x)*(c + d*x)^3),x)

[Out]

int(x^m/((a + b*x)*(c + d*x)^3), x)

________________________________________________________________________________________